د احتمال تيوري. د يوې غونډې احتمالات، کله ناکله پېښه (احتمال تیوری). د احتمال تيوري خپلواک او (incompatible) پرمختګونو

دا ناشونې ده چې زیات خلک فکر دا ممکنه ده چې تر يوه حده په تصادفي پېښو حساب،. ددې لپاره چې په ساده الفاظو کې واچوئ، دا واقعي چې پوه شي چې په په فال د مکعب اړخ به بل وخت راځي. دا دغې پوښتنې ته د دوه غوره پوهانو څخه پوښتنه وه، د دې علم بنسټ، د تيوري کېښودل د احتمال، د احتمال په صورت کې په کوم کې چې په پراخه توګه په کافي اندازه زده کړې.

نسل

که تاسو هڅه وکړي چې د احتمال د تيوري په توګه داسې یو مفهوم تعریف کړي، موږ د لاندې کول: دا د رياضي په څانګو چې د تصادفي پیښې د constancy د مطالعې یو. په روښانه توګه، د دغه مفکورې په رښتيا نه پوهیده په ډاګه، نو تاسو باید په ډیر تفصیل سره دا په پام کې.

زه غواړم چې له سره د تيوري بنسټګران پیل غواړم. لکه څنګه چې پورته يادونه وشوه، د دوه وو، چې د Per فرما او Blez Paskal. دوی د لومړي فورمولونه او د رياضي د محاسبو په کارولو سره د يوې غونډې د پایلو محاسبه هڅه وو. په عمومي توګه، د دې علومو د لومړي ځل هم په منځني پیړیو دی. په داسې حال کې د مختلفو متفکرينو او ساینس پوهانو هڅه وکړه چې د بک لوبو لکه رولټ، craps، او داسې تحلیل، دې توګه د يوه بيلګه د جوړولو، او د یو شمیر سلنه تاوان. د بنسټ هم په ولسم پیړۍ کې کېښودل شوه چې دا د یادو عالمانو وه.

په پیل کې، د خپل کار کولای شي په دې برخه کې د غوره لاسته راوړنې نه منسوب شي، وروسته د ټولو، هغه څه چې دوی وکړل، دوی په ساده تجربوي حقایق او تجربی پرته د فورمول د کارولو په واضح وو. د وخت په تيريدو، دا بدل ته د سترو پايلو، چې په توګه د د د د هډوکو د ووټونو د څارنې په پایله کې راڅرګند ترلاسه کړي. دا په دې آله مرسته کړې ده ترڅو د لومړي بيل فورمول راولي.

د پلویانو

نه ذکر په توګه Christiaan Huygens لکه یو سړی، د موضوع چې د "احتمال تيوري" په نوم ګڼل زده کړې د بهير (د پيښې د احتمال په دې علومو دا په ګوته کوي). دغه کس د ده ډېر په زړه پورې. هغه، او همدارنګه د ساینس پوهانو پورته وړاندې په د محاسبوي فورمولونه په بڼه هڅه کیږي ترڅو د تصادفي پیښو یوه بیلګه روايته. د یادونې وړ ده چې د هغه نه دا سره پاسکال او Fermat شریک کړي، چې د ده د هغه ټول کارونه کوي له هغو ذهنونو نه ته راشي. Huygens مشتق د احتمال تيوري اساسي مفاهيمو.

یو په زړه پورې حقیقت دا دی چې د هغه د کار د مخکښان د کارونو د پایلو د مخه اوږد راغلل، چې د کره شل کاله مخکې وي. يوازې د مفاهيمو په ډاګه شوي دي په منځ کې شته دي:

• په توګه د احتمال ارزښتونو چانس مفهوم؛
• د د discrete قضيې لپاره تمه؛
• د سربېره او د احتمالونو ضرب theorems.

همدارنګه، د يو شي Yakoba Bernulli، چې هغه هم مرسته د ستونزې د مطالعې نه هېر شوی وي. له لارې د خپلو، نه د چا د خپلواک ازموینو دي، هغه په دې وتوانیده چې د زيات شمېر د قانون ثبوت وړاندې کړي. په خپل وار سره، د پوهانو Poisson او لاپلاس، چې په نولسمې پېړۍ په لومړيو کار کاوه، وکولای شول چې د اصلي theorem ثابته کړي. له همدې شیبې ته په کتنو غلطيو تحلیل موږ احتمال تيوري په کارولو پیل وکړ. د دې علومو شاوخوا ګوند نه او د روسیې د پوهانو، بلکې Markov، Chebyshev او Dyapunov. دوی پر کار غوره geniuses پر بنسټ دي، لکه د رياضي د يوې څانګې د موضوع په امن. موږ د نولسمې پیړۍ په پای کې دغه ارقام کار کاوه، او د خپلې ونډې مننه، دي پدیدو لکه ثابت شوي دي:

• د زيات شمېر قانون؛
• د Markov زنځيرونه تیوری؛
• د مرکزي حد theorem.

نو، د ساينس او سره د سترو شخصيتونو چې دا مرسته د ولادت په تاريخ، هر څه دی، لږ او ډېر روښانه. اوس دا وخت چې د ټولو حقایقو غوښه.

د اساسي مفاهيمو

مخکې له تاسو تماس د قوانینو او theorems بايد د احتمال تيوري اساسي مفاهيمو زده کړي. دکمپاینونو دا هيوا د يو واکمن رول لري. دا موضوع ده، بلکې د پراخو، خو به ونه شي کولای چې له هغې پرته پاتې ټول پوه شي.

دکمپاینونو په احتمال تيوري - دا د تجربه پایلو هر ټولګه. د دې پدیدې مفاهیم هلته په کافي اندازه نه ده. په دې ډول، Lotman ساینس پوه په دې برخه کې کار کوي، ده څرګنده کړه چې په دې صورت کې موږ د هغه څه په اړه خبرې کوو "وشول، که څه هم دا نه وشي."

ناټاکلی پیښو (احتمال تيوري هغوی ته ځانګړې پاملرنه ورکوي) - يوه مفکوره چې شامل هر پدیده په مطلق ډول چې د امکان تر واقع ده. یا، د هغې په خلاف، دا سناریو نه شي د یو د شرایطو نوعه د کړنو ترسره شي. دا هم د يادونې پوه چې د پدیدو یوازې د تصادفي پیښې رامنځته ټول حجم اشغال دی. احتمالات تيوري په ډاګه کوي چې په ټولو شرايطو کولای شی په پرله پسې تکرار شي. دا د دوی ترسره شوی دی "تجربه" یا په نامه شوي دي "ټسټ."

مهمه پېښه - دا یو پدیده ده چې په دې ازموينه سل په سلو کې ترسره شي. سره سم، د ناشوني پيښه - دا هغه څه دي چې داسې نه کيږي.

د ګډو جوړو عمل (دودیز په صورت کې د A او B په صورت) يوه پديده ده چې په عین وخت واقع کيږي. دوی په توګه AB ته راجع کیږي.

د پیښو جوړو د A او B اندازه - د C په بل عبارت ده، که لږ تر لږه د هغوی یو به د (الف یا ب)، تاسو ت فورمول تشريح پدیده ده په توګه د C = a + ب لیکل لاسه

د احتمال تيوري incompatible پرمختګونو په دې معنا ده چې د دوو قضيو دي دوه اړخیزه ځانګړې. په ورته وخت کې دوی په کوم صورت کې نه واقع کيږي عبارت دي. په احتمال تيوري ګډ پیښو - دا د دوی antipode. د تضمن ده چې که يو وشول، دا نه ت مخه ونيسی

په صورت کې (احتمال تيوري يې په تفصیل بولي) مخالفت، دي اسانه پوه شي. ښه په پرتله د هغوی سره معامله ده. دوی په د احتمال د تيوري په همدې توګه (incompatible) پرمختګونو دي تقریبا. که څه هم، د هغوی توپیر دا دی چې په هر حالت کې د پدیدو ماتو د یو شي.

په همدی ډول احتمالي پیښو - هغو اقداماتو، د تکرار امکان برابر دی. ته دا روښانه کړي، چې تاسو کولای شي تصور يوه سکه هم ګوزار: د خپلو غاړو يوه ضايعه ده د نورو په مساوي توګه د احتمالي تاوان.

دا آسانه د سيالۍ پلوي د مثال په توګه په پام کې. فرض په خپرونه کې الف لومړی یوه خپرونه کې شتون لري - د سره د یو شمیر طاقو د ظهور یو مړه یو رول، او د دوهم - د فال د پنځه شمېر بڼه. بيا دا په فیصلو څخه چې د ده د خوښې V.

خپلواک پیښو په احتمال تيوري یوازې د دوو یا ډیرو وختونو کې اټکل شوي دي او شامل څخه د بل کوم ګام خپلواکه. د مثال په توګه، الف - په تاوان لکۍ COIN د پنډوسکې، او B - د سالیډونه له dostavanie jack. دوی په احتمال تيوري خپلواکه پیښو لري. له دې شېبه چې دا څرګنده شوه.

په احتمال تيوري اتکا پیښو هم یوازې د خپل سیټ کول جايز دي. دوی د نورو پدي معنا د یو اتکا، چې ده، د پدیده کولای شي په يوازې په صورت کې پېښېږي کله چې يو لا رامنځته شوه او یا، د هغې په خلاف، نه هغه مهال رامنځ ته دا دی - د ب اصلي حالت

د تصادفي تجربه د يو واحد جز شامل پايلې - دا elementary پیښو د. احتمالات تيوري وايي، چې دا يوه داسې پديده ده چې یوازې یو ځل ترسره.

اساسي فورمول

په همدې ډول، پورته شوي د "غونډې"، "احتمال تيوري" مفهوم په نظر، د دې علومو مهمو اصطلاحاتو تعریفونه هم ورکړل. اوس دا وخت چې خپل ځان په مهم فورمولونه سره آشنا شي. دغه څرګندونې په دي ریاضی په داسې د احتمال د تيوري په توګه يوه ستونزمنه موضوع د ټولو اصلي مفاهیمو تاييد کړه. د يوې غونډې احتمالات او غږوي يو ستر رول لوبوي.

ښه سره د combinatorics اساسي فورمولونه پيل کړي. او مخکې تاسو يې پيل کړي، چې دا د یادونې وړ ده په پام کې څه ده.

Combinatorics - ده اساسا د ریاضیاتو د يوې څانګې په هغه شوی د integers، او د دواړو د شمېر او د هغوی عنصرونه، د مختلفو معلومات، او نور د بېلابېلو جوړونه زيات شمېر زده کړې، چې د ترکیب د یو شمیر مخکښو ... په د احتمال تيوري سربېره، دغه صنعت لپاره د احصائیې، کمپيوټر ساينس او کوډکښنې مهم دی.

نو اوس تاسو کولای شي د خپل ځان او د خپل تعريف فورمولونه د پریزنټشن په حرکت.

لومړی د دغو ده د بيان لپاره د جوړونه د شمېر، چې دا په لاندې ډول دي:

P_n = N ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2) ... 3 2 ⋅ ⋅ 1 = N!

معادله يوازې په صورت کې د تطبيق وړ که عناصر یوازې د تنظیم په موخه سره توپير لري.

اوس د رسنېو د فورمول، داسې ښکاري چې دا به پام کې ونیول شي:

A_n ^ M = N ⋅ (n - 1) ⋅ (N-2) ⋅ ... ⋅ (n - M + 1) = N! : (N - M)!

دا د بيان نه يوازې د نظم دکرلو یوازې عنصر، خو هم د خپل جوړښت د اجرا وړ ده.

د combinatorics دریم معادله، او دا وروستنۍ، د ترکیب د شمېر د فورمول په نامه:

C_n ^ M = N! : ((n - M))! : M!

ترکیب د نمونې په نامه، چې د دي امر نه، په ترتیب سره، او دا قاعده وکارول شي.

سره په اسانۍ سره پوه د combinatorics د فورمولونه راغلل، تاسو اوس کولای شئ چې د احتمال په کلاسیک تعریف ته ځي. داسې ښکاري چې د دې بيان په لاندې توګه دي:

P (A) = M: ▪.

په دې فورمول، M - د شرايط مساعد ته په صورت کې يو د شمیر، او د n - د مساوي او په بشپړه توګه د ټولو elementary پیښو شمیره.

د مقالې په ډیرو څرګندونې به څه نه ګڼل شي، خو متاثره به ډېر مهم وي لکه، د مثال په توګه، د پیښو د احتمال پېسې شته دي:

P (A + B) = P () A + P د (ب) - د زياته کړه یوازې دوه اړخیزې ځانګړې پیښو theorem؛

P (A + B) = P () A + P د (ب) - P (AB) - خو دا یوازې د زياته کړه متوافقت ده.

د غونډې د کار احتمال:

P (A ⋅ ب) = P) A (⋅ P د (ب) - د خپلواک پیښو theorem؛

(P (A ⋅ ب) = P) A (⋅ P (B | A)؛ P (A ⋅ ب) = P) A (⋅ P (A | B)) - او د دې لپاره سره تړاو لري.

د پیښو فورمول پای لست. د احتمال تيوري موږ ته راښيي theorem Bayes، چې د دې په څېر ښکاري:

P (H_m | A) = (P (H_m) P (A | H_m)): (Σ_ (K = 1) ^ N P (H_k) P (A | H_k))، M = 1، ...، n

په دې فورمول، H _1، H _2، ...، H _n - ده فرضيې يوه بشپړه ټولګه.

په دې تم ځای، نمونې فورمولونه غوښتنلیک به د اوس لپاره د عمل ځانګړې دندې په پام کې ونیول شي.

مثالونه

که تاسو په دقت سره د ریاضیاتو هر څانګې زده، دا پرته له تمرين او د نمونه حل نه ده. او د احتمال تيوري: پیښو، مثالونه دلته د ساينسي شمېرنو تصديق لپاره یو پراخه جز دي.

د جوړونه شمېر فورمول

د مثال په توګه، په یوه کارت سالیډونه دیرش کارتونه لري، سره د تش په یو پیل. بل پوښتنه. څومره لارې د سالیډونه تر څو چی دا د یو او دوه مخ ارزښت د کارتونو شوي بل د موقعیت نه قات؟

د دنده ټاکل شوې ده، اوس راځئ په سره دا معامله وکړي. لومړی تاسو ته د دیرش عناصر جوړونه، د دې هدف لپاره چې موږ د پورتني فورمول واخلي د شمېر معلومولو ته اړتيا لري، چې دا په فیصلو P_30 = 30!.

پر بنسټ دا قاعده، موږ پوهيږو چې څومره اختیارونه په ډېرو لارو سالیډونه کيږدي موجود دي، خو موږ بايد له هغوی څخه د مجرايي وړ دي د هغو په کوم کې چې د لومړي او دوهم کارت به بل وي. د دې، سره يو variant، کله چې د لومړي ځل لپاره د دوهم په کې پروت دی پيل کړي. دا په فیصلو څخه چې د لومړي نقشه کې ښايي نهه ویشت ځایونه واخلي - د لومړي څخه تر شل نهمه، او دوهم د دېرشو څخه د دوهم کارت، د کارتونو د جوړو نهه ویشت څوکیو وګرځي. په خپل وار، د نور کولی شي-اته ویشت څوکۍ واخلي، او په هر ترتيب لري. دا ده چې، د اته ویشت کارتونو rearrangement دي شل اته انتخابونو P_28 = 28!

پایله دا ده چې که موږ د پرېکړې په پام کې، کله چې د لومړي کارت پر دوهمه اضافي فرصت دی چې 29 ⋅ 28 لاسه! = 29!

په ورته ميتود په کارولو سره، تاسو ته اړتيا لري ترڅو په صورت کله چې د لومړي کارت د دوهم لاندې پروت دی د ګوښه انتخابونو شمېر محاسبه کړي. هم ترلاسه 29 ⋅ 28! = 29!

له دې چې دا په لاندې ډول چې د اضافي انتخابونه 2 ⋅ 29!، داسې حال کې چې د سالیډونه 30 راټولولو ضروري وسايلو! - 2 ⋅ 29!. دا یوازې پاتې محاسبه کړي.

30! = 29! ⋅ 30؛ 30 - 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

اوس موږ بايد په ګډه د شمېر د ټولو څخه یو ویشت نهه ضرب، او بیا د ټولو ضرب د 28. په پای کې د ځواب 2،4757335 ⋅ 〖〗 10 ^ 32 تر لاسه

د حل مثالونه. د استوګنې د شمېر فورمول

په دې ستونزه ده، چې تاسو ته اړتيا لري تر څو وموندله شي څومره لارو د پنځلس ټوکه د یوه طاق کړي دي، خو د حالت له مخې، چې يوازې د دېرشو ټوکو.

په دغه دنده، د پریکړې د تیر په پرتله لږ آسانه. د پخوا په نامه فورمول په کارولو سره، دا ضروري ده چې د دېرش ځایونو پنځلسو ټوکو شمېر محاسبه ده.

A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ ... ⋅ 28⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ = 202 843 16 204 931 360 000 727

په ځواب کې، په ترتیب سره، به د مساوي 202 843 204 931 727 360 000 وي.

اوس دنده واخلي لږ ډېر ستونزمن وي. تاسو بايد په دې پوه څومره لارې د دوه دیرش د المارۍ د کتابونو انتظام، سره په دې شرط چې يوازې پنځلس حجم کولای شي په هماغه طاق اوسیدونکي دي.

د پرېکړې له پيل مخکې به غواړم چې روښانه کړي چې د يو شمېر ستونزې په څو طريقو سره حل شي، او په دې دوه لارې موجودې وي، خو په دواړو یو او د همدې فورمول په توګه استعماليږي.

په دې کار، چې تاسو کولای شي دا له پخوانیو یو ځواب واخلي، ځکه چې هلته موږ د ځلې شمېر تاسو کولای شی چې په مختلفو لارو پنځلس کتابونو د ضرورياتو په ډکولو محاسبه. دا بدل A_30 ^ 15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) ⋅ 16 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ....

د دویم کنډک محاسبه د فورمول بدلونونه له خوا، ځکه چې دا پنځلس کتابونه ځای، په داسې حال کې د پنځلسو پاتې. موږ فورمول P_15 = 15 وکاروي!.

دا وګرځي چې مجموعه به A_30 ^ 15 ⋅ P_15 لارو، خو، په دې سربیره، د له دېرشو تر شپاړس ټول شمېر د محصول به له يو د شمېر د محصول له خوا تر پنځلسو څو چنده شي، په پای کې له دېرشو څخه د یو ټول شمېر د محصول ته مخه کړي، چې د پوښتنې ځواب دا دی دی 30!

خو دا ستونزه په يوه بله لاره حل شي - آسانه. د دې، چې تاسو تصور کولای شي چې د ده لپاره د دیرش کتابونه يو طاق. دوی ټول په دې الوتکه کې ځای پرځای شوي دي، خو ځکه چې حالت ته اړتيا لري، چې دوه له المارۍ څخه، یو اوږد موږ په نيمايي ګيرا، دوه نوبت پنځلس شوي دي. له دې دا وګرځي چې د دې ترتیب کیدای شي P_30 = 30!.

د حل مثالونه. د د د ترکیب د شمېر فورمول

څوک د combinatorics دریم ستونزه يو variant ګڼل. تاسو بايد په دې پوه څومره لارو په حالت کې پنځلس کتابونه چې تاسو بايد له دیرش کټ مټ په هماغه غوره انتظام شته دي.

د پریکړه به، البته، د ترکیب د شمېر د فورمول هم عملي شي. له دې شرط چې دا روښانه شي چې د همدې پنځلس کتابونه امر مهمه نه ده. نو په لومړي سر تاسو ته اړتيا لري تر څو د دیرش پنځلس کتابونه ترکیب ټول شمير د موندلو.

C_30 ^ 15 = 30! : ((30-15))! 15:! = 155117520

دا ټول. چې دا فورمول په کارولو سره، په لنډه وخت ممکن د داسې يوه ستونزه ده، د پوښتنې ځواب، ترتیب، برابر 155.117.520 حل کړي.

د حل مثالونه. د احتمال کلاسيک تعریف

د فورمول پورته ورکول په کارولو سره، د يو شي د يو ساده دنده په یوه ځواب پيدا کړي. خو دا به په څرګنده توګه وګوري او د عمل د کورس تعقیب کړي.

د دنده په پام سره چې په یوه urn لس په بشپړه توګه ورته بالونه دي. له دغو څخه، څلور ژيړ او شپږ نیلي. اخیستل د urn یو توپ څخه. دا ضروري ده چې د dostavaniya نیلي احتمال پوهيږي.

د دې ستونزې د حل لپاره دا dostavanie نیلي توپ پيښه الف وګماري ضروري ده دا تجربه ښايي لس پایلو، لري چې، په خپل وار، Elementary او مساوي احتمال. په ورته وخت کې، د لسو لپاره مساعد وي په صورت کې الف د لاندی فورمول حل:

P () A = 6: 10 = 0.6

دا فورمول پلي کولو لپاره، موږ زده کړل چې د dostavaniya نیلي توپ امکان دی 0.6.

د حل مثالونه. د پیښو اندازه احتمال

څوک به يو variant چې د ده له خوا د پیښو اندازه احتمال د فورمول په کارولو سره حل شي. نو، د دې شرط چې دوه قضيو شته دي ورکړل، په لومړي یو دی خړ او تر پینځو پورې سپین توپونو، په داسې حال کې د دوهم - اته خړ او څلور سپين توپونو. په پایله کې، د لومړي او دوهم د صندوقونو د يو يې کړي دي. معلوم چانس چې نه د توپونو دي خړ او سپين څه دي دا ضروري ده.

د دې ستونزې د حل لپاره، دا ضروري غونډې ته په ګوته کړي دی.

• P () A = 1/6: - په دې ډول، د موږ د لومړي صندوق خړ توپ لري.
• یو '- سپين بلب هم د لومړي صندوق څخه اخيستل شوي: P (یو') = 5/6.
• د - له پخوا څخه استخراج د دویم استفاده خړ توپ: P (B) = 2/3.
• -: (= 1/3 ب P ب) د دوهم مېزه په خړ توپ وکړ.

چې دا ستونزه له مخې دا ضروري ده چې د پدیدو یو وشول: AB 'یا د' ب د فورمول په کارولو سره، چې موږ تر لاسه: P (AB) = 1/18، P (A'B) = 10/18.

اوس د احتمال د ضرب د فورمول وکارول شو. بل، د ځواب ترلاسه کړو، تاسې باید د خپلو معادله زياته غوښتنه وکړي:

P = P (AB '+ A'B) = P (AB) + P (A'B) = 11/18.

دا څنګه، د فورمول په کارولو سره، تاسو کولای لکه د ستونزو د حل لپاره.

نتيجه

د کاغذ پر "احتمال تيوري"، د پیښو چې د يو مهم رول لوبوي د احتمال د معلوماتو د وړاندې شوه. البته، د هر څه نه دی ګڼل شوی دی، خو د متن په وړاندې پر بنسټ، له تاسو سره د ریاضیاتو د دې څانګې خبردار نظري تر لاسه کولای شي. په پام کې د ساینس کیدای شي نه یوازې په مسلکي سوداګرۍ، خو هم په ورځني ژوند کې ګټور دي. تاسو کولای شۍ دا د يوې غونډې هر امکان محاسبه کړي.

د متن هم د په توګه د علومو د احتمال تيوري د پرمختګ په تاريخ کې د پام وړ خرما، او د خلکو د چا آثار واچول دا شوي نومونه اغیزمن. دا څومره د بشر د کنجکاوی سبب دا حقيقت چې خلک زده کړي دي چې حساب کوي، حتی د تصادفي پیښو. کله چې دوی په دې يوازې مينه، خو نن دا دی لا په نامه د ټولو. او څوک نه شي کولی وايي، هغه څه چې په راتلونکې کې به موږ ته پېښ شي، هغه څه چې په پام لاندې د تيوري اړوند نورو ځلیدونکی موندنې، به ژمن شي. خو یو شی لپاره ډاډمن دی - د مطالعې تر اوسه هم په ارزښت دا نه ده!